Bài 1: Quantum vs Classical Interference: First Example
Nội dung
Trước khi đi vào các thuật toán quantum trong học máy, mình muốn so sánh bài toán suy luận xác suất trên máy tính truyền thống cũng như trên máy tính lượng tử. Bài viết này sẽ giúp các bạn viết qua những thành phần cơ bản của vật lý lượng tử: qubits, unitary transformation, và measurement và cách hoạt động của chúng thông qua một ví dụ cụ thể.
Giới thiệu bài toán
Cho hai đồng xu đồng chất: $c_1$ và $c_2$ với xác suất ở mặt sấp (tail) hay mặt ngửa (head) là như nhau. Không gian mẫu của việc tung 2 đồng xu trên sẽ bao gồm: (head, head), (head, tail), (tail, head), và (tail, tail). Mình sẽ xét bài toán như sau: Bước 1, ta lật 2 đồng xu thành mặt ngửa (head sẽ là giá trị ban đầu của 2 đống xu). Bước 2, ta tung đồng xu thứ nhất $c_1$ và kiểm tra kết quả. Và bước 3, ta cũng lại tung đồng xu $c_1$ lần thứ hai và kiểm tra kết quả (giả sử kết quả thu được là sau số lần thử đủ lớn).
Classical Interference (Suy luận xác suất truyền thống)
Có thể thấy với máy tính truyền thống (classical computer), 2 đồng xu có thể được coi là 2 bits ngẫu nhiên (random bits). Ở bước 1, bài toán sẽ đưa về kết quả (head, head). Tuy nhiên, sau bước hai thì (head, head) và (tail, head) sẽ có xác suất bằng nhau và bằng 0.5. Phân phối này sẽ không thay đổi sau bước 3.
Quantum Interference (Suy luận xác suất trên máy tính quantum)
Tuy nhiên, ở đây sẽ có một chút khác biệt nếu ta biểu diễn bài toán trên máy tính quantum. Hai đồng xu sẽ được biểu diễn bằng hai qubits (quantum bits). Mỗi qubit có dạng $\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}$, trong đó $\ket{0}$ và $\ket{1}$ là hai trạng thái cơ sở (basis state) được biểu diễn dưới dạng véc-tơ tương ứng: $[1,0]^T$ và $[0,1]^T$. Có thể thấy rằng $\ket{0}$ và $\ket{1}$ tương ứng với hai giá trị nhị phân 0, 1 ở máy tính truyền thống; tuy nhiên, thay vì được mã hóa rời rạc thành chuỗi bit 1 hoặc 0, mỗi qubit có thể tạo thành một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái cơ sở theo xác suất:
$$
p(0) = |\alpha|^2, p(1) = |\beta|^2; \alpha, \beta \in \mathbb{C}
$$
Chú ý rằng $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ để thỏa mãn xác suất trên. Như vậy nếu ta coi hai mặt của đồng xu là hai trạng thái cơ sở: $\ket{head} = \ket{0}$ và $\ket{tail} = \ket{1}$, thì việc tung đồng xu sẽ tương đương việc chúng ta thực hiện biến đổi Hadamard. Việc biến đổi ở đây trên máy tính quantum chính là phép nhân ma trận Hadamard với trạng thái hiện tại của qubit. Trong đó biến đổi Hadamard có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận:
Từ đó, ta có thể triển khai bài toán trên như sau: 2 qubits sẽ được khởi tạo thành $\ket{head}\ket{head}$ sau bước 1. Ở bước 2, ta nhân ma trận Hadamard với trạng thái của qubit thứ nhất, ta có: $$ H\ket{head}\ket{head}= H\ket{0}\ket{head} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \ket{head} $$ $$ =\!\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)\! \ket{head}\! =\! \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}\!+\!\ket{1})\!\ket{head}\! =\! \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{head}\!+\!\ket{tail})\!\ket{head} $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{head}\ket{head} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{tail}\ket{head} $$ Như vậy, ta thấy giống như trường hợp trên, sau bước 2 xác suất đạt được $\ket{head}\ket{head}$ và $\ket{tail}\ket{head}$ là bằng nhau là cũng bằng $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0.5$. Tuy nhiên sự khác biệt nằm ở bước 3, nếu ta tiếp tục tung đồng xu thứ nhất (hay thực hiện biến đổi Hadamard), với một chút tính toán ta nhận được kết quả:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}H\ket{head}\ket{head} + \frac{1}{\sqrt{2}}H\ket{tail}\ket{head} = \ket{head}\ket{head} $$ Sau bước 3 ta sẽ luôn nhận được $\ket{head}\ket{head}$, kết quả này khác hoàn toán khi thực hiện bài toán trên máy tính truyền thống. Có thể nói đây là một sự khác nhau thú vị giữa máy tính lượng tử và máy tính truyền thống. Khác với máy tính truyền thống có xu hướng tối đa hóa sự không chắc chắn (maximize uncertainty) vì luôn cho ra kết quả 50-50 giữa 2 trạng thái (head, head) và (tail, head), thì máy tính lượng tử cho ra kết quả có độ không chắc chắn thấp hơn. Chính vì lý do này, đã có nghiên cứu áp dụng quantum inference như một hàm dự đoán (prediction function) trong bài toán học máy có giám sát (supervised learning) [1]
Sự khác nhau trên cũng dẫn ta tới một vấn đề quan trọng khác: measurement (phép đo). Phép đo chính là cầu nối giữa quantum và classical, giúp chúng ta đánh giá và phân tích trạng thái hiện tại của một hoặc một hệ qubit, và nó thường mang tính thống kê xác suất hơn là một đánh giá đơn lẻ. Nói cách khác, phép đo cho phép chúng ta phá bỏ tính chống chât của qubits (phá bỏ đi tổ hợp tuyến tính), từ đó làm cho trạng thái của qubit ‘collapse’ về một trong các trạng thái cơ sở. Ví dụ, thực hiện phép đo một qubit bất kỳ $\ket{\phi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}$ trên cơ sở chuẩn (canonical basis) thì ta sẽ đạt được giá trị 0 với xác suất là $|\alpha|^2$ và giá trị 1 với xác suất $|\beta|^2$. Kết quả thu được từ phép đo sẽ là một thống kê xác suất.
Giờ mình sẽ triển khai lại bài toán trên nếu ta thực hiện phép đo giữa bước 2 và bước 3. Sau bước 2, trạng thái của 2 đồng xu có dạng: $\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{head}\ket{head} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{tail}\ket{head}$. Nếu ta thực hiện phép đo ở đây, ta có 50% thu được $\ket{head}\ket{head}$ và 50% thu được $\ket{tail}\ket{head}$. Do đó ở bước 3 ta xét hai trường hợp:
-
Trường hợp I: $$ H\ket{head}\ket{head} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{head}\ket{head} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{tail}\ket{head} $$
-
Trường hợp II: $$ H\ket{tail}\ket{head} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{head}\ket{head} - \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{tail}\ket{head} $$
Có thể thấy ở hai trường hợp thì sau bước 3 đều cho ra trạng thái $\ket{head}\ket{head}$ hay $\ket{tail}\ket{head}$ với xác suất $(\pm\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0.5$ và sẽ giống với kết quả của máy tính truyền thống.
Kết luận
Trên đây, mình đã đưa ra ví dụ so sánh khả năng suy luận xác suất của máy tính truyền thống và máy tính lượng tử. Ngoài ra mình giới thiệu sơ bộ về thành phần cơ bản trong vật lý lượng tử như qubits, cách triển khai phép biến đổi, và phép đo.
-
Khác với máy tính truyền thống có xu hướng tối đa hóa sự không chắc chắn, thì máy tính lượng tử cho ra kết quả có độ không chắc chắn thấp hơn.
-
Qubit có dạng tổ hợp tuyến tính của các trạng thái cơ sở dựa theo một xác suất.
-
Trong máy tính lượng tử, phép biến đổi là phép nhân ma trận tương ứng với trạng thái hiện tại của qubit.
-
Phép đo là cầu nối giữa ‘quantum’ và ‘classical’ phá bỏ đi tính chồng chất của một hoặc một hệ qubits và cho ra kết quả là một thống kê xác suất.
Cảm ơn mọi người đã đọc bài.
